Задача 116101

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Формула Герона ]

Сложность: 4 Классы: 8,9 Название задачи: Задача Люилье.

Условие

Пусть r — радиус вписанной окружности, а r_a , r_b и r_c — радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC , касающихся сторон BC=a , AC=b , AB=c соответственно; p — полупериметр треугольника ABC , S — его площадь. Докажите, что
                     а) = + + ; б) S = .

Решение

Известно, что S=pr , поэтому = . Пусть O — центр окружности радиуса r_a , касающейся стороны BC=a треугольника ABC в точке Q , а продолжений сторон AB=c и AC=b — в точках M и N соответственно. Тогда

S= S_{Δ AOB}+S_{Δ AOC}-S_{Δ BOC}= AB· OM + AC· ON - BC· OQ=

= c · r_a+b· r_a-a· r_a= r_a= (p-a)r_a.
Отсюда находим, что r_a= . Аналогично, r_b= и r_c= , поэтому
++= ++= ===.

По формуле Герона
S= = = = .
Отсюда находим, что =S . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6144