Задача 116105

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Расстояние между параллельными прямыми равно 24. На одной из них лежит точка C , на другой — точки A и B , причём треугольник ABC — равнобедренный и остроугольный, а его боковая сторона равна 25. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .

Решение

Заметим, что либо AC=BC , либо AC=AB .
Рассмотрим первый из этих случаев (рис.1): AC=BC=25 . Пусть H — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием AB , r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC . Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC . Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

AH= = = =7.
Тогда
S_{Δ ABC}=AH· CH=7· 24=168, S_{Δ ABC}=(AB+BC+AC)r1= (14+25+25)r1=32r1.
Из равенства 32r1=168 находим, что r1= . Рассмотрим второй случай (рис.2): AB=AC=25 . Пусть CH — высота треугольника ABC , а радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , равен r2 . Тогда AH=7 , BH=AB-AH=25-7=18 (треугольник ABC — остроугольный). Из прямоугольного треугольника BCH находим, что
BC= = = 6=6· 5 = 30,

S_{Δ ABC}=AB· CH = · 25· 24=300, S_{Δ ABC}=(AB+AC+BC)· r2= 40r2.
Из равенства 40r2=300 получаем, что r2= .

Ответ

или .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6148