Условие
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
правильные треугольники ABC1 , AB1C и A1BC . Пусть P и
Q — середины отрезков A1B1 и A1C1 . Докажите, что
треугольник APQ правильный.
Решение
При повороте на 60o относительно точки A , переводящем точку
C в точку B1 , равносторонний треугольник A1BC переходит в
равносторонний треугольник A2MB1 . Поэтому
B1A2 = MA2 = BA1 ,
а т.к. угол между прямыми A1C и BA1 равен 60o ,
то прямая A1C переходит в прямую B1A2 , параллельную
BA1 , т.е. B1A2 || BA1 .
Следовательно, BA1A2B1 — параллелограмм. Поэтому середина P
его диагонали B1A1 является серединой диагонали BA2 .
При рассматриваемом повороте отрезок C1A1 переходит в
отрезок BA2 . Поэтому середина Q отрезка C1A1 переходит в середину
P отрезка BA2 . Следовательно, треугольник APQ — равносторонний.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6701 |
