ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116107
Темы:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие


На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC1 , AB1C и A1BC . Пусть P и Q — середины отрезков A1B1 и A1C1 . Докажите, что треугольник APQ правильный.

Решение

При повороте на 60o относительно точки A , переводящем точку C в точку B1 , равносторонний треугольник A1BC переходит в равносторонний треугольник A2MB1 . Поэтому B1A2 = MA2 = BA1 , а т.к. угол между прямыми A1C и BA1 равен 60o , то прямая A1C переходит в прямую B1A2 , параллельную BA1 , т.е. B1A2 || BA1 . Следовательно, BA1A2B1 — параллелограмм. Поэтому середина P его диагонали B1A1 является серединой диагонали BA2 .
При рассматриваемом повороте отрезок C1A1 переходит в отрезок BA2 . Поэтому середина Q отрезка C1A1 переходит в середину P отрезка BA2 . Следовательно, треугольник APQ — равносторонний.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6701

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .