Задача 116107

Темы:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC1 , AB1C и A1BC . Пусть P и Q — середины отрезков A1B1 и A1C1 . Докажите, что треугольник APQ правильный.

Решение

При повороте на 60^o относительно точки A , переводящем точку C в точку B1 , равносторонний треугольник A1BC переходит в равносторонний треугольник A2MB1 . Поэтому B1A2 = MA2 = BA1 , а т.к. угол между прямыми A1C и BA1 равен 60^o , то прямая A1C переходит в прямую B1A2 , параллельную BA1 , т.е. B1A2 || BA1 . Следовательно, BA1A2B1 — параллелограмм. Поэтому середина P его диагонали B1A1 является серединой диагонали BA2 .
При рассматриваемом повороте отрезок C1A1 переходит в отрезок BA2 . Поэтому середина Q отрезка C1A1 переходит в середину P отрезка BA2 . Следовательно, треугольник APQ — равносторонний.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6701