Задача 116109

Темы:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах треугольника ABC построены вне треугольника равносторонние треугольники BCA1 , CAB1 , ABC1 , и проведены отрезки AA1 , BB1 и CC1 . Докажите, что
а) эти отрезки равны между собой;
б) эти отрезки пересекаются в одной точке;
в) если эта точка находится внутри треугольника ABC , то сумма расстояний от неё до трёх вершин треугольника равна длине каждого из отрезков AA1 , BB1 , CC1 .

Решение

При повороте на угол 60^o вокруг вершины A , переводящем точку C1 в B , точка C переходит в точку B1 (рис.1). Следовательно, отрезок C1C переходит в отрезок BB1 . Поэтому CC1 = BB1 . Аналогично докажем, что AA1= BB1 .
Пусть Q — точка пересечения прямых BB1 и CC1 . Отрезок C1B виден из точек A и Q под углом 60^o . Поэтому точка Q лежит на описанной окружности треугольника ABC1 . Аналогично докажем, что точка Q лежит на описанной окружности треугольника CAB1 . Поскольку

BQC + BA1C = 120^o + 60^o = 180^o,
то точка Q лежит и на описанной окружности треугольника BCA1 . Тогда
AQA1= AQB + BQA1= AQB + BCA1= 120^o + 60^o = 180^o.
Следовательно, прямая AA1 проходит через точку Q .
Предположим, что AQ<BQ . Рассмотрим образ Q1 точки Q , лежащей внутри треугольника ABC , при повороте на 60^o относительно точки A , переводящем B в C1 (рис.2). При этом повороте треугольник AQB переходит в треугольник AQ1C1 , а т.к. треугольник QAQ1 равносторонний, то QQ1= AQ и AQQ1=60^o= AQC1 . Значит, точка Q1 лежит на отрезке C1Q и
C1Q = C1Q1 + Q1Q = BQ + AQ.
Следовательно, C1C = C1Q + QC = BQ + AQ + CQ . Аналогично для отрезков AA1 и BB1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6703