|
|
 |
Условие
Oколо четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Точка P – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BC, Q – из A на DC, R – из D на AB и T – из D на BC. Докажите, что точки P, Q, R и T лежат на одной окружности.
Решение
Достаточно доказать, что RPTQ – равнобокая трапеция. Четырёхугольник ARDQ – вписанный, поэтому ∠RQD = ∠DAR. Также, поскольку четырёхугольник ABCD – вписанный, то ∠BCD = 180° – ∠DAR. Cледовательно, ∠RQD + ∠BCD = 180°, то есть прямые PT и RQ параллельны.
Докажем теперь, что в трапеции RPTQ диагонали равны. Четырёхугольник APCQ вписан в окружность с диаметром AC, поэтому
PQ = AC sin∠BCD. Aналогично RT = BD·sin∠ABC. Но из вписанности четырёхугольника ABCD следует, что Значит, PQ = RT, то есть трапеция – равнобокая.
Замечания
В решении неявно предполагается, что в четырёхугольнике ABCD нет прямых углов (иначе упомянутые в решении четырёхугольники вырождаются в треугольники или отрезки). Тогда RPTQ – действительно трапеция, а не прямоугольник. Случаи, когда два или четыре угла – прямые, легко разбираются отдельно.
