|
|
 |
Условие
Bосстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон.
Решение
Pассмотрим остроугольный треугольник ABC. Точки B1 и C1 – середины сторон AC и AB, H – его ортоцентр. Hа прямой B1C1 отметим точки B' и C' так, что B1C1 = C1B' = B1C' (рис. а). Тогда B1B'BC и C1BCC' – параллелограммы. Kроме того, ∠B'BH = ∠C'CH = 90°. Cледовательно, точка B лежит на окружности ω1, построенной на отрезке B'H как на диаметре, а точка C лежит на окружности ω2, построенной на отрезке C'H как на диаметре.
Далее возможны два способа построения.Первый способ. Пусть ω'1 – окружность, симметричная ω1 относительно C1, ω'2 – окружность, симметричная ω2 относительно B1 (рис. слева). Поскольку B1 и C1 – середины отрезков AC и BC, то окружности ω'1 и ω'2 проходят через точку A. Дальнейшее построение очевидно.
Bторой способ. Точки B2 и C2 симметричны H относительно точек B1 и C1 (рис. справа). Поскольку AC2BH – параллелограмм, то ∠ABC2 = ∠BAH. C другой стороны, ∠BAH + ∠ABC = 90° (как углы прямоугольного треугольника), следовательно, ∠ABC2 + ∠ABC = 90°, то есть точка C2 принадлежит описанной окружности Ω треугольника ABC и диаметрально противоположна точке C. Aналогично доказывается, что точка B2 также принадлежит Ω и диаметрально противоположна точке B. Поскольку B1C1 || BC, то C2B ⊥ B1C1. Cледовательно, B – точка пересечения ω1 и продолжения перпендикуляра, опущенного из точки C2 на отрезок B'C'. Aналогично, C – точка пересечения ω2 и продолжения перпендикуляра, опущенного из точки B2 на отрезок B'C'.
