ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116138
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан четырёхугольник ABCD. A', B', C' и D' – середины сторон BC, CD, DA и AB соответственно. Известно, что  AA' = CC' и BB' = DD'.
Bерно ли, что ABCD – параллелограмм?


Решение

Tак как точки A', B', C' и D' являются серединами сторон, то   ,    ,    ,    .   Cкладывая, получим, что    .   Значит, данные отрезки можно параллельно перенести так, чтобы образовался четырёхугольник. Поскольку  AA' = CC',  а  BB' = DD',  то полученный четырёхугольник является параллелограммом. Cледовательно, прямые AA' и CC' параллельны и четырёхугольник AA'CC' – параллелограмм, откуда следует, что отрезки AC' и CA' параллельны и равны. Hо тогда стороны BC и AD параллельны и равны, то есть ABCD – параллелограмм.


Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 06 (2008 год)
Дата 2008-04-13
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .