|
|
 |
Условие
Один треугольник лежит внутри другого.
Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.
Решение
Пусть AB ≤ AC ≤ BC – стороны внешнего треугольника, M – середина стороны BC.
Первый способ. Заметим, что стороны треугольников ABM и ACM не превосходят AC.
Действительно BC < AB + AC ≤ 2AC, то есть BM = MC = ½ BC < AC.
Кроме того, согласно задаче 55147 AM < AC.
С другой стороны, хотя бы в одном из треугольников ABM или ACM лежат две вершины внутреннего треугольника (рис. слева). Значит, соединяющая их сторона не превосходит наибольшей стороны в этом треугольнике (см. задачу 57475 а), а, значит, не превосходит AC, и даже меньше неё, так как вершины внутреннего треугольника не совпадают с вершинами внешнего.
Итак, хотя бы одна из сторон внутреннего треугольника меньше средней стороны внешнего, откуда и следует утверждение задачи.
Второй способ. Проекции всех вершин внутреннего треугольника на прямую BC лежат внутри отрезка BC (рис. справа). Значит, проекция одной из его сторон меньше ½ BC. Проекция этой же стороны на перпендикулярную прямую меньше высоты внешнего треугольника, опущенной на BC. С другой стороны, проекция средней стороны внешнего треугольника на BC не меньше ½ BC, а на перпендикулярную прямую – равна высоте. Следовательно, одна из сторон внутреннего треугольника короче средней стороны внешнего.
Замечания
Aналогично можно доказать более сильное утверждение: по крайней мере одна из двух меньших сторон внешнего треугольника длиннее соответствующей стороны внутреннего.
