Задача 57475

Тема:    [ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ]

Сложность: 3+ Классы: 8

Условие

а) Внутри треугольника ABC расположен отрезок MN. Докажите, что длина MN не превосходит наибольшей стороны треугольника.
б) Внутри выпуклого многоугольника расположен отрезок MN. Докажите, что длина MN не превосходит наибольшей стороны или наибольшей диагонали этого многоугольника.

Решение

Будем проводить доказательство сразу для общего случая. Пусть прямая MN пересекает стороны многоугольника в точках M₁ и N₁. Ясно, что  MN M₁N₁. Пусть точка M₁ лежит на стороне AB, а точка N₁ — на PQ. Так как  AM₁N₁ + BM₁N₁ = 180^o, то один из этих углов не меньше  90^o. Пусть для определенности  AM₁N₁ 90^o. Тогда  AN₁ M₁N₁, так как против большего угла лежит большая сторона. Аналогично доказывается, что либо  AN₁ AP, либо  AN₁ AQ. Следовательно, длина отрезка MN не превосходит длины отрезка с концами в вершинах многоугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	10
Название	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны
Тема	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны
задача
Номер	10.064