|
|
 |
Условие
Докажите, что любой жесткий плоский треугольник T площади меньше 4 можно просунуть сквозь треугольную дырку Q площади 3.
Решение
Достаточно доказать, что в треугольнике T найдётся высота h, меньшая наибольшей стороны треугольника Q.
Пусть a ≤ b ≤ c – стороны треугольника Q. Так как его площадь равна 3, а наименьший угол A не превосходит 60°, то
Отсюда
Аналогично получим, что наибольшая сторона треугольника T не меньше
Значит, высота h, опущенная на эту сторону, не больше
что и требовалось.
Замечания
Фактически доказано следующее:
1) у треугольника данной площади найдётся сторона, не меньшая стороны равновеликого ему равностороннего треугольника;
2) у треугольника данной площади найдётся высота, не большая высоты равновеликого ему равностороннего треугольника.
