|
|
 |
Условие
Постройте параллелограмм ABCD, если на плоскости отмечены три точки: середины его высот BH и BP и середина стороны AD.
Решение
Предположим, что искомый параллелограмм ABCD построен. Пусть K и L – середины его высот BH и BP соответственно, а M – середина стороны AD (см. рис.). Проведём
отрезок ML. Поскольку AM = MD и BL = LP, то ML – средняя линия трапеции ABPD, поэтому
ML || CD и ML ⊥ BP. Cледовательно, вершина B параллелограмма принадлежит прямой l,
перпендикулярной отрезку ML. Проведем прямую KM и отложим отрезкок KN, равный отрезку KM. Tак как треугольники KBN и KHM равны (по первому признаку), то ∠NBK = 90°, то есть вершина B принадлежит окружности γ, построенной на отрезке NK как на диаметре. Tаким образом,
вершина B является точкой пересечения прямой l и окружности γ. Дальнейшее построение очевидно.
Задача может иметь два решения, одно решение или ни одного. Это зависит от количества точек пересечения прямой l и окружности γ.
