ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116170
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Tочки A1, B1 и C1 симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. C2 – точка пересечения прямых AB1 и BA1, точки A2 и B2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 параллельны.


Решение 1

  Докажем параллельность прямых A1A2 и C1C2 (рис. слева). Для этого достаточно доказать подобие треугольников BA2A1 и BC1C2.
  Tреугольники ABC, ABC1, A1BC и AB1C равны. Поэтому  ∠BCA2 = 180° – 2∠C,  ∠A2BC = 180° – 2∠B,  следовательно,  ∠BA2C = 180° – 2∠A.
  Аналогично  ∠C2BA = 180° – 2∠B  и  ∠C2AB = 180° – 2∠A,  следовательно, треугольники BA2C и BAC2 подобны. Поэтому  BC : BA2 = BC2 : BA.  Поскольку  BC = BC1  и  BA = BA1,  то  BC1 : BA2 = BC2 : BA1.   Kроме того,  ∠C1BC2 = ∠A1BA2,  следовательно, треугольники BA2A1 и BC1C2 подобны.
  Параллельность прямых C1C2 и B1B2 доказывается аналогично.

             


Решение 2

  Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC, H – его ортоцентр (рис. справа). Заметим, что точка C1 лежит на CH. Докажем, что C2 лежит на CO.
  Высоты CK и CL равных треугольников ACB1 и A1CB равны. Поэтому треугольники CKC2 и CLC2 равны по катету и гипотенузе. Следовательно,
BCC2 = ∠LCC2 – ∠LCB = ½ ∠KCL – ∠BCC1 = ∠C – (90° – ∠B) = 90° – ∠A = ∠BCO.
  Проведём высоту BD. Из прямоугольных треугольников BDC и HDC получим    .   В прямоугольном треугольнике CLC2    .   Кроме того,  CC1 = 2BC sin B.  Cледовательно,  CH : CO = CC1 : CC2 ,   то есть прямая C1C2 параллельна OH.
  Aналогично доказывается, что прямые A1A2 и B1B2 параллельны OH.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 05 (2007 год)
Дата 2007-04-1
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .