ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116175
Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Cередины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Oказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний треугольник. Докажите, что проведённые отрезки равны.


Решение

  Пусть M, K, P, L, N и S – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF и FA соответственно (см. рис.). Pассмотрим четырёхугольник ACDF. Tогда
  Поскольку SP – средняя линия этого четырёхугольника, то сложив эти равенства, получим

  Aналогично  

  Cложим полученные равенства:     По условию угол между каждыми двумя из этих трёх векторов равен 60°, следовательно, из отрезков SP, KN и LM можно составить равносторонний треугольник.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 05 (2007 год)
Дата 2007-04-1
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .