Задача 116182

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Мякишев А.Г.

Дан треугольник АВС. Точка О₁ – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О₂ и О₃ являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО₁, ВО₂ и СО₃ пересекаются в одной точке.

Решение

  Опустим перпендикуляр из точки О₁ на сторону ВС (см. рис.). Основание этого перпендикуляра – точка А₀ – является серединой стороны ВС.
  Продолжим отрезок АО₁ до пересечения со стороной ВС в точке А₁. О₁ – середина отрезка АА₁.
  Проведём в треугольнике АВС высоту АА₂. Так как  О₁А₀ || АА₂,  то точка А₀ является серединой отрезка А₁А₂. Таким образом, точки А₁ и А₂ симметричны относительно точки А₀, значит  СА₁ = BA₂  и  BА₁ = CA₂.

  Рассмотрев аналогичным образом прямые ВО₂ и СО₃, получим, что  CB₁ = AB₂,  AB₁ = CB₂,  AС₁ = BC₂  и  BС₁ = AC₂,  где В₁ и C₁ – точки пересечения этих прямых с противолежащими сторонами, а В₂ и С₂ – основания соответствующих высот.
  Так как три высоты треугольника пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы    Используя доказанные равенства, получим    Это и означает, что прямые АО₁, ВО₂ и СО₃ пересекаются в одной точке.

Замечания

Рассмотренные чевианы АA₁, ВB₁ и СC₁ изотомически сопряжены чевианам АA₂, ВB₂ и СC₂, а искомая точка H' их пересечения – это точка, изотомически сопряженная ортоцентру H треугольника АВС (см. рис.). Более подробно об этих и других замечательных точках треугольника – см. книгу А.Г. Мякишева "Элементы геометрии треугольника".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	01 (2003 год)
Дата	2003-04-11
задача
Номер	5