Задача 116188

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Окружность Аполлония ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

В окружность вписан треугольник ABC. Постройте такую точку P, что точки пересечения прямых AP, BP и CP с данной окружностью являются вершинами равностороннего треугольника.

Решение 1

  Пусть искомая точка P построена и лежит внутри треугольника ABC (рис. слева). Тогда ∠APB = ∠A₁C₁B₁ + ∠C = 60° + ∠C.
  Таким образом, искомая точка P является пересечением геометрического места точек, из которых сторона AB видна под углом  60° + ∠C,  и геометрического места точек, из которых сторона BC видна под углом  60° + ∠A  (рис. справа).
  Если, например,  ∠A ≥ 120°,  то искомая точка P лежит вне треугольника или на стороне BC. При этом способ построения точки P не изменится, но сторона BC будет видна из точки P не под углом  60╟ + ∠A,  под углом  360° – ∠A.

             

Решение 2

  Из подобия треугольников APC и C₁PA₁ (рис. слева) следует, что  AP : AC = C₁P : C₁A₁.  Аналогично  BP : BC = C₁P : C₁B₁.  Cледовательно,
AP : BP = AC : BC,  то есть точка P лежит на окружности Аполлония точек A и B.
  Аналогично построив еще одну окружность Аполлония, например, для точек A и C, на их пересечении получим искомую точку.

Замечания

  Из решения 2 следует, что  AP·BC = BP·AC = CP·AP,  то есть расстояния от точки P до вершин треугольника обратно пропорциональны длинам противолежащих сторон.   Точки, обладающие таким свойством, называются точками Аполлония треугольника ABC. В любом треугольнике таких точек две. Если все углы треугольника меньше 120°, то одна из точек лежит внутри треугольника, а другая вне. Если один из углов больше 120°, то обе точки лежат вне треугольника.
  Отметим следующие свойства точек Аполлония:
  1. Педальные треугольники точек Аполлония – правильные.
  Поэтому возможен другой вариант рассуждения, изложенного во втором решении, – доказать, что треугольник A₁B₁C₁ подобен педальному треугольнику точки P.
  2. При инверсии относительно описанной окружности точки Аполлония переходят друг в друга. Отсюда, в частности, следует, что соединяющая их прямая проходит через центр описанной окружности.
  3. Так как  ∠PAB + ∠PCB = ∠A₁AB + ∠C₁CB = 60°,  то точки P изогонально сопряжены точкам Торричелли треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	03 (2005 год)
Дата	2005-04-3
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	5