ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116202
Темы:    [ Теорема синусов ]
[ Построения (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан произвольный треугольник ABC. Постройте прямую, разбивающую его на два многоугольника, у которых равны радиусы описанных окружностей.


Решение

Предположим, что задача решена. Tогда возможны два случая.
1) Искомая прямая BD разбивает данный треугольник на два треугольника (см. рис. а). Поскольку sin ∠ADB = sin ∠BDC и радиусы окружностей, описанных около треугольников ADB и BDC, равны, то AB = BC. Tаким образом, такое разбиение возможно только для равнобедренного треугольника.

2) Искомая прямая ML разбивает данный треугольник на треугольник и четырехугольник (см. рис. а). Поскольку четырехугольник AMLC — вписанный, то ∠MAL = ∠MCL. Tак как радиусы описанных окружностей равны, то ∠ABC = ∠MAL = ∠MCL. Tакая ситуация возможна только если ∠ABC — наименьший угол данного треугольника.

Рис. а Рис. б

Tаким образом, для произвольного треугольника ABC возможно следующее построение: пусть ∠ABC — его наименьший угол (см. рис. а). Проведем лучи AL и CM так, чтобы ∠BAL = ∠BCM = ∠ABC = α. При этом точки M и L лежат на сторонах треугольника. Прямая MK — искомая.

Если треугольник неравнобедренный, то решение — единственное. Если треугольник равнобедренный, то решений бесконечно много.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 04 (2006 год)
Дата 2006-04-2
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .