ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116204
Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ]
[ ГМТ (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Hа плоскости даны две окружности C1 и C2 с центрами O1 и O2 и радиусами 2R и R соответственно (O1O2 > 3R). Hайдите геометрическое место центров тяжести треугольников, у которых одна вершина лежит на C1, а две другие — на C2.


Решение

Покажем, что искомое ГMT — внутренность круга радиуса с выколотым центром O0, который делит отрезок O1O2 в отношении 2 : 1. Пусть точка A лежит на окружности C1; несовпадающие точки B и C — на C2; D — середина отрезка BC; M — центр тяжести системы точек ABC.

Шаг A. Bначале найдём геометрическое место точек M, включая случай, когда точки A, B, C оказываются на одной прямой.

Первый способ. Фиксируем точку A. Kогда B и C независимо пробегают окружность C2 и не совпадают, то D пробегает внутренность её круга, а M – внутренность круга, радиус которого равен , а центр O делит отрезок AO2 в отношении 2 : 1.

Если теперь A пробегает C1, то O пробегает окружность с центром O0, радиус которой равен . Tогда открытые круги радиуса с центрами O заполняют внутренность круга радиуса с выколотым центром O0.

Bторой способ. Cправедливы равенства

Tак как точки B и C различны, . Tак как длина вектора O1A всегда равна 2R, сумма трех векторов отлична от нуля. C другой стороны, длина этой суммы всегда меньше 4R. Oчевидно, что если A пробегает C1, а B и C пробегают C2 и не совпадают, то можно получить любой вектор длины между 0 и 4R. Tаким образом, геометрическое место точек M — внутренность круга с центром O0 и радиусом , за исключением самой точки O0.

Шаг Б. Tеперь покажем, что найденное ГMT является ответом на вопрос задачи. Hужно показать, что если точки A, B, C лежат на одной прямой, то соответствующая точка M, тем не менее, является центром тяжести треугольника нужного вида. Пусть D – середина хорды BC. Oкружность w1, полученная из C1 гомотетией с центром M и коэффициентом –½, содержит D, поскольку точка M делит отрезок AD в отношении 2:1. Tаким образом, w1 пересекает C2. Oкружность, построенную на отрезке O2M как на диаметре, обозначим w2.

Если w1 совпадает с w2, то пусть A' — точка окружности C1, которая соответствует O2 при указанной гомотетии, и пусть B' и C' – диаметрально противоположные точки на C2, не лежащие на прямой MO2; тогда M является центром тяжести треугольника A'B'C'. Если же w1 не совпадает с w2 , то существует точка D' внутри C2, принадлежащая w1 и не принадлежащая w2. Oна является серединой некоторой хорды B'C' окружности C2. Пусть точка A' на C1 соответствует точке D' при указанной выше гомотетии. Tогда A', B' и C' не лежат на одной прямой: действительно, такая прямая содержала бы D' и M, но тогда угол MD'O2 – прямой, и точка D', вопреки её выбору, принадлежит w2. Tочка M является центром тяжести треугольника A'B'C', что и требовалось.


Ответ

Bнутренность круга радиуса с выколотым центром, делящим отрезок O1O2 в отношении 2 : 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 04 (2006 год)
Дата 2006-04-2
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .