Задача 116212

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Средняя линия треугольника ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Перпендикуляр, опущенный из точки M на диагональ AC, и перпендикуляр, опущенный из точки N на диагональ BD, пересекаются в точке P. Докажите, что  PA = PD.

Решение

Обозначим через Q середину стороны AD (см. рис.). Заметим, что  MQ || BD,  QN || AC  как средние линии треугольников ABD и ACD соответственно. Поэтому прямые MP и NP – высоты треугольника MNQ, а P – его ортоцентр. Значит,   QP ⊥ MN || AD,  то есть QP – серединный перпендикуляр к отрезку AD. Следовательно,  PA = PD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2011
Номер	74
класс
Класс	8
задача
Номер	5