Задача 116216

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Перпендикулярные прямые ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Блинков Ю.А.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол A равен 30°, точка I – центр вписанной окружности ABC, D – точка пересечения отрезка BI с этой окружностью. Докажите, что отрезки AI и CD перпендикулярны.

Решение

 Пусть E – точка касания вписанной окружности и стороны BC. Заметим, что  CE = IE (см. рис.).

  В прямоугольном треугольнике IEB угол IBE равен 30°, значит,  ∠EIB = 60°.  Следовательно, треугольник IDE равносторонний.
  По доказанному  CE = IE = DE, то есть треугольник CDE равнобедренный. Угол при вершине E равен  ∠CED = 180° – 30° = 150°.  Следовательно,
∠DCE = 15°.  Осталось заметить, что  ∠IAC + ∠ACD = 15° + (90° – ∠DCE) = 90°,  а значит,  AI ⊥ CD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2011
Номер	74
класс
Класс	9
задача
Номер	3