ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116231
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении  a : (1 – a)  по весу, где  0 < a < 1.  Верно ли, что на любом промежутке длины 0,001 из интервала  (0, 1)  найдётся значение a, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?


Решение

  Назовём число a подходящим, если  0 < a < 1  и для этого значения a продавец сможет добиться желаемого результата. Пусть число a подходящее, тогда число  1 – a  также является подходящим. Докажем, что подходящим будет также     Для этого достаточно показать как разрезать кусок сыра веса 1 на части в отношении  a : (1 – a),  используя разрезы в отношении  
  После первого разреза у нас появится кусок веса    Разрезав его, мы получим два куска, вес одного из которых равен a. Значит, второй кусок в сумме с куском, оставшимся от первого разреза, весит  1 – a.
  То, что часть весом  1 – a  оказалась не целой, а составленной из двух, несущественно: при необходимости дальнейшего разрезания этой составной части мы сможем разрезать в нужном отношении каждую из составляющих её частей. Поэтому в дальнейшем мы такую кучку будем рассматривать как один кусок.
  Число  a0 = ½  является подходящим. Следовательно, подходящими являются и числа     а также числа  bn = 1 – an.  Заметим, что
1,5 < bn–1/bn = 1 + an < 2.
  Числа    также подходящие. Поскольку  (1 + 0,001)1024 > 1 + 1024·0,001 > 2,  имеем

    и      .
  Кроме того,  
  Так как  bn–1/bn > 1,5,  найдётся такое натуральное N, что  bN < 0,0011024  и, следовательно,  bN,10 < 0,001.
  В наборе подходящих чисел   bN,10 < bN–1,10 < ... < b0,10   первое число меньше 0,001, последнее больше 0,999 и разности между соседними числами меньше 0,001. Поэтому этот набор имеет непустое пересечение с каждым из промежутков длины 0,001 из интервала  (0, 1).


Ответ

Верно.

Замечания

См. также задачу 116423.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2011
Номер 74
класс
Класс 11
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .