ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116423
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  а) Есть кусок сыра. Разрешается выбрать любое положительное (возможно, нецелое) число  a ≠ 1,  и разрезать этот кусок в отношении  1 : a  по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т. д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса?
  б) Тот же вопрос, но выбирается положительное рациональное  a ≠ 1.


Решение

  а) Разрезание в отношении  1 : a  равносильно отрезанию доли   .   Выберем такое a, что   ,   и разрежем во второй раз наибольший из кусков. Тогда вес самого большого из полученных кусков равен половине веса всего сыра.

  б) Допустим противное: после нескольких разрезаний удалось разбить все куски на две равные кучки. Без ограничения общности можно считать, что мы резали на каждом шагу все имеющиеся куски. После k шагов получились куски, чьи веса относятся как  1 : a : a² : ... : ak,  причём 1 и ak соответствует ровно по одному куску. Подставив вместо a несократимую дробь m/n и умножив все веса на подходящую константу, получим целые веса  nk, mnk–1, ..., mkm и n взаимно просты, поэтому вес одной кучки кратен m, а другой, где есть кусок веса nk, не кратен. Противоречие.


Ответ

а) Можно.   б) Нельзя.

Замечания

1. В младших кл. давался только п. а (3 балла), в старших – оба пункта  (2 + 2 балла).

2. См. также задачу 116231.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .