ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116239
Темы:    [ Взвешивания ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Есть 40 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 40 г. Из них выбрали 10 гирь чётной массы и положили на левую чашу весов. Затем выбрали 10 гирь нечётной массы и положили на правую чашу весов. Весы оказались в равновесии. Докажите, что на какой-нибудь чаше есть две гири с разностью масс в 20 г.


Решение

Разобьём гирьки на пары с разностью 20 г:  (1, 21), (2, 22), ..., (20, 40).  Если на весах окажется ровно по одной гирьке из каждой пары, тогда (независимо от выбора гирек в парах) вес нечётной чашки сравним с нулем по модулю 20, а вес чётной сравним с 10 по модулю 20. Противоречие.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .