|
|
 |
Условие
Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
а) по 5 шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.
Решение
а) Так как было сыграно 25 игр, то общее количество баллов, набранное командами, равно 25, то есть каждая команда набрала по 12,5 очков.
Предположим, что у всех шахматистов разное количество очков. Каждый из 10 шахматистов мог набрать 0, 0,5, 1, 1,5, ..., 4,5, 5 очков – всего 11 вариантов. Значит, не реализуется ровно один из них. Так как 0 + 0,5 + 1 + 1,5 + ... + 5 = 55 : 2 = 25 + 2,5, а в сумме шахматисты набрали 25 очков, то никто не набрал ровно 2,5 очка, а для любого другого количества очков соответствующий шахматист найдется.
Пусть шахматист, набравший 5 очков, – член в команды A. Он выиграл у всех игроков команды B, значит, ни один из них не набрал больше
4 очков. Следовательно, шахматист с 4,5 очками – из A. Но тогда ни один член B не набрал более 3,5 очков, то есть шахматист, набравший
4 очка, тоже член A. Но уже эти три шахматиста набрали не меньше 5 + 4,5 + 4 = 13,5 очков, что невозможно.
б) 1) Обозначим через a1, a2, ..., an (b1, b2, ..., bn) количество баллов, полученное шахматистами команды A (команды B) в порядке возрастания. Предположим, что все эти 2n чисел различны. Как в а) отсюда следует, что среди них встречаются все числа 0, 0,5, 1, ..., n, кроме n/2.
2) Пусть p – натуральное число от 1 до 2n – 1. Рассмотрим p наименьших чисел среди a1, ..., an, b1, ..., bn. Это наихудшие результаты a1, ..., ak шахматистов команды A и наихудшие результаты b1, ..., bm шахматистов команды B, где k = k(p) и m = m(p) зависят от p, k + m = p.
3) Докажем, что k(p) ≠ m(p). При этом достаточно разобрать случай 1 ≤ p ≤ n, . Случай n ≤ p ≤ 2n – 1, сводится к этому: заменив результаты всех партий на противоположные, мы превратим 2n – p лучших результатов в худшие, и их не больше n.
Предположим противное. Тогда p = 2k ≤ n и a1 + ... + ak + b1 + ... + bk = 0 + ½ + ... + (p–1)/2 = ¼ p(p–1) = k² – k/2. С другой стороны, k худших игроков команды A сыграли k² партий с k худшими игроками команды B; следовательно, в сумме эти 2k человек набрали не меньше k² очков. Противоречие.
4) Можно считать, что k(1) = 1, m(1) = 0. При увеличении p на 1 одно из чисел k(p), m(p) не меняется, а второе увеличивается на 1. Значит, разность k(p) – m(p) меняется ровно на 1. Но, как показано выше, эта разность никогда не равна нулю. Следовательно, она сохраняет знак, то есть k(p) > m(p) при всех p от 1 до 2n – 1.
5) Неравенство k(2q – 1) > m(2q – 1) означает, что aq < bq. Поэтому неравенство aq < bq выполнено для всех q от 1 до n. Отсюда
a1 + ... + an < b1 + ... + bn. Противоречие.
