ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116253
Темы:    [ Взвешивания ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Два пирата делили добычу, состоящую из пяти золотых слитков, масса одного из которых 1 кг, а другого – 2 кг. Какую массу могли иметь три других слитка, если известно, что какие бы два слитка ни выбрал себе первый пират, второй пират сможет так разделить оставшиеся слитки, чтобы каждому из них досталось золота поровну?


Решение

  Расположим массы слитков в килограммах в порядке их неубывания:  a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e.
  Пусть первый пират выберет слитки с массами d и e. Их общая масса не меньше массы любых двух оставшихся слитков, поэтому второй пират должен забрать себе все остальные слитки, то есть  e + d = a + b + c.
  Пусть первый пират выберет слитки с массами d и e. По аналогичной причине  e + c = a + b + d.  Отсюда следует, что  c = d  и  e = a + b.  Таким образом, имеются слитки с массами a, b, c, c, e = a + b.
  Пусть первый пират выберет слитки с массами a и e. Если ему еще добавить слиток массы c, то у него станет больше золота, чем в оставшихся двух слитках. Поэтому возможны только два случая.
 1)  e + a + b = 2c.  Отсюда  c = e = a + b,  и массы слитков равны  a, b, a + b, a + b, a + b.  По условию возможны варианты: 1, 1, 2, 2, 2 и 1, 2, 3, 3, 3 (кг). Оба подходят.
 2)  e + a = b + 2c.  Отсюда  с = a,  и массы слитков равны  a, a, a, a, a + b.  Значит,  a = b = 1,  то есть в наборе – слитки 1, 1, 1, 1, 2. Этот случай тоже подходит.


Ответ

1, 1 и 1 кг;  1, 2 и 2 кг;  3, 3 и 3 кг.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2013
Номер 76
класс
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .