ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116254
Темы:    [ Показательные уравнения ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Производная и касательная ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Найдите такое значение  a > 1,  при котором уравнение  ax = logax  имеет единственное решение.


Решение

  Рассмотрим графики функций  y = ax,  y = logax  (см. рис.). Поскольку эти функции взаимно обратны, каждая общая точка их графиков лежит на прямой  y = x.  Следовательно, уравнение  ax = logax  эквивалентно уравнению  ax = x.

  Ввиду очевидной выпуклости функции  f(x) = ax  последнее уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда график  y = ax  касается прямой  y = x.  Это значит, что в какой то точке x0   f(x0) = x0  и   f'(x0) = ax0 ln a = 1.  Отсюда  ,  то есть  


Ответ

a = e1/e.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2013
Номер 76
класс
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .