ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116264
Тема:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямоугольник разбили на 121 прямоугольную клетку десятью вертикальными и десятью горизонтальными прямыми. У 111 клеток периметры целые.
Докажите, что и у остальных десяти клеток периметры целые.


Решение

Назовём клетки, про периметры которых известно, что они целочислены, известными, а остальные клетки – неизвестными. Поскольку строк и столбцов в получившейся таблице – по 11, а неизвестных клеток всего 10, мы можем отметить строку и столбец, в которых все клетки – известные. Возьмём неизвестную клетку K. Легко проверить, что её периметр P равен  P1 + P2P0,  где P1 – периметр клетки отмеченного столбца, стоящей в одной строке с K, P1 – периметр клетки отмеченной строки, стоящей в одном столбце с K, а P0 – периметр клетки, стоящей на пересечении отмеченных строки и столбца. Так как все числа P1, P2 и P0 – целые, число P – тоже целое.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2010/2011
Номер 32
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .