Задача 116268

Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Произволов В.В.

Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники.
Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).

Решение

Две грани, прилежащие к наибольшему ребру, очевидно, равны. То же верно для двух граней, прилежащих к наименьшему ребру. Если какая-то из граней входит в обе пары, то наибольшее и наименьшее ребро входят в одну грань. Но тогда любая грань не может быть больше этой (иначе там найдётся большее ребро) и, аналогично, не может быть меньше. Значит, все грани равны, и найдутся две непересекающиеся пары равных граней.

Замечания

1. См. также задачу М2230 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2011, №4).
2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2010/2011
Номер	32
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	1