ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116281
Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Манкин М.

В пространстве с декартовой системой координат дан прямоугольный параллелепипед, вершины которого имеют целочисленные координаты. Его объём равен 2011. Докажите, что рёбра параллелепипеда параллельны координатным осям.


Решение

  По теореме Пифагора длины рёбер равны     где числа  a ≤ b ≤ c  – натуральны. Тогда квадрат объёма  2011² = abc.
  Поскольку 2011 – простое число, то  a = 1.  Для b и c возможны два случая:  b = 1,  c = 2011   или   b = c =  .   Ребро длины 1 идёт, очевидно, по линии сетки. В случае  a = b = 1  ребро c перпендикулярно двум линиям сетки и поэтому тоже идёт по сетке. В случае  b = c  ребра b и c лежат в плоскости, перпендикулярной линии сетки. Но тогда 2011 должно представляться как сумма двух квадратов. Однако  2011 ≡ 3 (mod 4),  а для суммы двух квадратов такое невозможно.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2010/2011
Номер 32
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .