|
|
 |
Условие
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD являются соответственно хордами окружностей ω1 и ω2, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг AB и CD равны α и β. Окружности ω3 и ω4 также имеют хорды AB и CD соответственно. Их дуги AB и CD, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω3 и ω4 тоже касаются.
Решение 1
Пусть O – точка пересечения прямых AB и CD, Ω1 и Ω2 – окружности, симметричные ω1 и ω2 относительно биссектрисы угла AOD. Рассмотрим окружности Ω4 и Ω3, полученные из Ω1 и Ω2 инверсией относительно окружности с центром O и радиусом Они, очевидно, касаются. При этом Ω4 проходит через точки C и D и может быть получена из Ω1 не только инверсией, но и гомотетией с центром O и коэффициентом OD : OA = OC : OB. Поэтому градусная мера дуги CD в Ω4 равна α. Следовательно, Ω4 совпадает с ω4. Аналогично Ω3 совпадает с ω3.
Решение 2
Лемма. Пусть точка M лежит между основаниями
BC и AD трапеции ABCD по ту же сторону от CD, что и точка A. Тогда ∠CMD = ∠BCM + ∠ADM.
Доказательство очевидно из левого рисунка.
Углы между хордами BP и CP и общей касательной к ω1 и ω2 равны соответственно углам BAP и CDP. Поэтому ∠BAP + ∠CDP = ∠BPC. Отсюда
∠BAQ + ∠CDQ = ∠BAD + ∠CDA – (∠QAD + ∠QDA) = ∠BAD + ∠CDA + ∠AQD – 180° = ∠BAD + ∠CDA + ∠APD – 180° =
= ∠BAP + ∠CDP = ∠BPC = ∠BQC.
Следовательно, через точку Q можно провести прямую, составляющую с BQ и CQ углы, соответственно равные углам BAQ и CDQ. Она и будет общей касательной к ω3 и ω4 в точке Q.
Замечание. Детали доказательства, разумеется, зависят от взаимного расположения прямых и окружностей. Разбор остальных случаев предоставляется читателю.
Замечания
8 баллов
