Задача 116293

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если при инверсии относительно некоторой окружности с центром O окружность S переходит в окружность S' , то O — один из центров гомотетии окружностей S и S' .

Решение

Пусть при инверсии относительно окружности ω с центром O точка A , лежащая на окружности S , переходит в точку A' окружности S' с центром Q , MN — диаметр окружности S , лежащий на прямой OQ , M' и N' — образы точек M и N соответственно, K — отличная от A' точка пересечения луча OA с окружностью S' .
Из подобия треугольников OAN и ON'A' следует, что точки A , A' , N' и N лежат на одной окружности, поэтому

OKM'=180^o- A'N'M'= ON'A' = OAN,
. Значит, M'K || NA . Следовательно, точка O — центр гомотетии, переводящей окружность S в окружность S' .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6131