Задача 116294

Темы:    [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Свойства инверсии ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Задача Паппа. III в. н.э.}На отрезке AB взята точка C и на отрезках AB , BC , CA как на диаметрах построены соответственно полуокружности α , β , γ по одну сторону от AC . В криволинейный треугольник, образованный этими полуокружностями, вписана окружность δ1 , в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями α , β и окружностью δ1 , вписана окружность δ2 и т.д. (окружность δ_n вписана в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями α , β и окружностью δ_n-1 , n=2,3, .. ). Пусть r_n — радиус окружности δ_n , d_n — расстояние от центра окружности δ_n до прямой AB . Докажите, что = 2n .

Решение

Обозначим окружности, полуокружностями которых являются α , β и γ , теми же буквами.
Рассмотрим инверсию относительно окружности ω с центром B радиуса BA . При этой инверсии точка A останется на месте, окружность α , проходящая через центр инверсии, перейдёт в прямую α' , проходящую через точку B перпендикулярно AB , окружность β , проходящая через центр инверсии, — в прямую β' , параллельную прямой α' , окружность γ , не проходящая через центр инверсии, — в окружность γ' , касающуюся параллельных прямых α' и β' , а окружность δ1 , касающаяся окружностей α , β и γ , — в окружность δ1' , касающуюся параллельных прямых α' , β' и окружности γ' . Радиус окружности δ' равен радиусу окружности γ' .
Аналогично, окружность δ_n при рассматриваемой инверсии перейдёт в окружность δ_n' , касающуюся параллельных прямых α' , β' и окружности δ_n-1' . Радиус окружности δ_n' также равен радиусу окружности γ' .
Пусть O_n , Q_n и P — центры окружностей δ_n , δ_n' и γ' соответственно, M_n — точка касания окружностей δ_n' и δ_n+1' , F_n — проекция точки O_n на прямую AB , N_n — точка пересечения отрезка O_nF_n с окружностью δ_n .
Поскольку окружность δ_n' — образ окружности δ_n при рассматриваемой инверсии, окружности δ_n' и δ_n гомотетичны, причём центр гомотетии совпадает с центром B инверсии. При этой гомотетии луч O_nF_n переходит в параллельный ему луч Q_nP , луч AF_n — в себя, точка F_n — в точку P , а радиус O_nN_n окружности δ_n — в радиус Q_nM_n окружности δ_n' . Следовательно,

= = =2n.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6132