Задача 116317

Темы:    [ Метод координат ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В четырёхугольнике ABCD найдите такую точку E , для которой отношение площадей треугольников EAB и ECD было равно 1:2, а треугольников EAD и EBC — 3:4, если известны координаты всех его вершин: A(-2;-4) , B(-2;3) , C(4;6) , D(4;-1) .

Решение

Поскольку

= = , = = = ,
то четырёхугольник ABCD — параллелограмм, стороны AB и CD которого параллельны оси ординат.
Пусть E — искомая точка. У треугольников EAB и ECD равные и параллельные основания AB и CD , поэтому равенство = равносильно тому, что их общая вершина E лежит на прямой, параллельной основаниям и отстоящей от них на расстояния, отношение которых равно , т.е. на оси ординат.
Пусть прямая BC пересекает ось ординат в точке P , а прямая AD — в точке Q . Если O — начало координат, то OP=3 и OQ = 4 .
У треугольников EAD и EBC равные и параллельные основания AD и BC , поэтому равенство = равносильно тому, что их общая вершина E лежит на прямой, параллельной основаниям и отстоящей от них на расстояния, отношение которых равно = , т.е. на прямой, проходящей через точку O .
Следовательно, точка E — начало координат.

Ответ

E(0;0) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6163