Задача 116325

Темы:    [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу, причём центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что в основания пирамиды можно вписать окружность.

Решение

Пусть SH — высота четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S , O — центр сферы, вписанной в пирамиду ( O лежит на отрезке SH ), K , L , M и N — точки касания сферы с гранями ASB , BSC , CSD и ASD соответственно.
Прямоугольные треугольники OKS , OLS , OMS и ONS равны по катету (радиус сферы) и гипотенузе, поэтому

OSK = OSL= OSM= OSN.
Продолжим отрезки SK , SL , SM и SN до пересечения со сторонами AB , BC , CD и AD основания в точках K1 , L1 , M1 и N1 соответственно. Прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым OK и SH плоскости SHK1 , поэтому AB SK1 . Аналогично, BC SL1 , CD SM1 и AD SN1 , а также HK1 AB , HL1 BC , HM1 CD и HN1 AD .
Прямоугольные треугольники SK1H , SL1H , SM1H и SN1H равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому HK1=HL1=HM1=HN1 , значит, точка H равноудалена от сторон четырёхугольника ABCD . Следовательно, H — центр окружности, вписанной в этот четырёхугольник.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7328