Задача 116329

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

На диагоналях AC и BD трапеции ABCD с основаниями  BC = a  и  AD = b  расположены точки K и L соответственно, причём
CK : KA = BL : LD = 7 : 4.  Найдите KL.

Подсказка

Продолжите KL до пересечения с одной из боковых сторон трапеции.

Решение

  Проведём через точку K прямую, параллельную основаниям. Пусть P и L₁ – её точки пересечения со стороной CD и диагональю BD соответственно. Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что  DP : PC = AK : KC = 4 : 7,  DL₁ : L₁B = DP : PC = 4 : 7.
  Поэтому точка L₁ совпадает с точкой L. Следовательно,  KL || AD.
  Из подобия треугольников CKP и CDA находим, что  KP = ^CK/_AC·AD = ⁷/₁₁ AD = ⁷/₁₁ b,  а из подобия треугольников DPL и DCB –  LP = ⁴/₁₁ BC = ⁴/₁₁ a.
Следовательно,  KL = |KP – LP| = |⁷/₁₁ b – ⁴/₁₁ a|.

Ответ

¹/₁₁ |7b – 4a|.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2911