|
|
 |
Условие
На стороне BC и на продолжении стороны AB за вершину B треугольника ABC расположены точки M и K соответственно, причём BM : MC = 4 : 5 и BK : AB = 1 : 5. Прямая KM пересекает сторону AC в точке N. Найдите отношение CN : AN.
Подсказка
Проведите через вершину C прямую, параллельную стороне AB, и рассмотрите две пары подобных треугольников.
Решение 1
Через точку C проведём прямую, параллельную AB. Пусть прямая KM пересекает её в точке T.
Положим BK = a, AB = 5a. Из подобия треугольников CMT и BMK (коэффициент 5/4) находим, что CT = 5/4 BK = 5/4 a, а из подобия треугольников CNT и ANK – CN : NA = CT : AK = 5/4 a : (5a + a) = 5:24.
Решение 2
Через точку M проведём прямую, параллельную AC, до пересечения с прямой AB в точке L. Тогда BL : LA = CM : MC = 4:5. Положим
BL = b, тогда AС = 9/4 b, а AN = AK/KL b = (6 : (4/9·5 + 1))b = 54/29 b. Отсюда
CN : AN = (9/4 – 54/29) : 54/29 = (29 – 6·4) : 6·4 = 5 : 24.
Решение 3
Разместим в точках A, K, C массы 5, 25, 24 соответственно. Тогда центр масс точек A и K находится в точке B, а центр масс точек A, K, C – в точке M. Следовательно, центр масс точек A и C находится на пересечении прямых KM и AC, то есть в точке N. Отсюда CN : NA = 5 : 24.
Ответ
5 : 24.Замечания
Разумеется, ответ сразу можно получить из теоремы Менелая.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2918 |
