Задача 116345

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Биссектриса делит дугу пополам ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.

Решение

  Пусть точка M лежит на биссектрисе угла с вершиной O, окружность S₁, проходящая через точки O и M, пересекает стороны этого угла в точках A и C, а окружность S₂, также проходящая через точки O и M, пересекает эти стороны в точках B и D соответственно, причём точка A лежит между O и B, а точка D – между O и C.
  Луч OM – биссектриса AOC, поэтому точка M – середина не содержащей точку O дуги AC окружности S₁, значит,  AM = CM.  Аналогично  BM = DM.
  Четырёхугольник OAMC вписан в окружность S₁, поэтому  ∠DCM = ∠OCM = 180° – ∠OAM = ∠BAM.  Аналогично  ∠ABM = ∠CDM.  Значит,
∠AMB = 180° – ∠BAM – ∠ABM = 180° – ∠DCM – ∠CDM = ∠DMC.
  Таким образом, треугольники AMB и CMD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  AB = CD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2923