Задача 116355

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Признаки подобия ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N, причём  CM : MB = 1 : 3  и  AN : NC = 3 : 2.  Отрезки AM и BN пересекаются в точке K. Найдите площадь четырёхугольника CMKN, если известно, что площадь треугольника ABC равна 1.

Решение

  Положим  CM = a,  BM = 3a.  Через вершину A проведём прямую, параллельную BC. Пусть эта прямая пересекается с прямой BN в точке T. Из подобия треугольников ANT и CNB находим, что  AT = ³/₂ BC = 2BM,  а из подобия треугольников AKT и MKB –  AK = 2KM,  поэтому
S_ANK = ^AN/_NC·^AK/_AM·S_ACM = ⅗·⅔·¼·S_ABC = ¹/₁₀·S_ABC.
  Следовательно,  S_CMKN = S_ACM – S_ANN = ¼ – ¹/₁₀ = ³/₂₀.

Ответ

³/₂₀.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2933