|
|
 |
Условие
Точки M и N расположены на боковых сторонах соответственно AB и CD трапеции ABCD, причём MN || AD. Известно, что площадь трапеции MBCN относится к площади трапеции AMND как 2 : 3. Найдите MN, если BC = a, AD = b.
Подсказка
С помощью дополнительных построений получите подобные треугольники.
Решение
Первый способ. Пусть P – точка пересечения с MN прямой, проходящей через точку C параллельно AB, Q – точка пересечения с AD прямой, проходящей через точку N параллельно AB. Обозначим MN = x; h1 и h2 – высоты подобных треугольников PCN и QND (см. рис. слева).
Пусть b > a. Отношение площадей трапеций BMNC и MADN равно 2 : 3, поэтому 3(x + a)h1 = 2(b + x)h2, откуда
.
Из подобия треугольников CPN и NQD следует, что
.
Поэтому
.
Отсюда
.
Второй способ. Пусть O – точка пересечения продолжений боковых сторон AB и DC (см. рис. справа), S – площадь треугольника BOC,
MN = x – искомый отрезок. Тогда 3(SMNO – S) = 2(SAOD – SMNO), или Отсюда x² = ½ (3a² + 2b²).
Ответ
Замечания
На рисунках предполагалось, что BC – меньшее основание, но все вычисления остаются верными и в случае, когда BC – большее основание.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2936 |
