ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116361
Темы:    [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]
[ Теорема синусов ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей прямоугольного треугольника с катетом, равным 2, и противолежащим острым углом в 30°.


Решение

Рассмотрим треугольник ABC с прямым углом при вершине C, в котором BC = 2, ∠BAC = 30°. Тогда AB = 2BC = 4, . Если A1, B1 и C1 – точки касания окружности, вписанной в треугольник, со сторонами BC, AC и AB соответственно, а r – радиус вписанной окружности с центром O, то четырёхугольник OA1CB1 квадрат со стороной r, поэтому

Тогда

Следовательно,

Пусть – полупериметр треугольника ABC, ra – радиус окружности с центром Oa, касающейся катета BC в точке A2, а продолжений гипотенузы AB и катета AC – в точках M и N соответственно. Тогда

а т.к. AM = AN, то AN = p. Четырёхугольник OaNCA2 – квадрат со стороной ra, поэтому

Если rb и rc – радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся катета AC и гипотенузы AB, то аналогично найдём, что


Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2939

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .