Задача 116364

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Площадь трапеции ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, равные 1 и 4. Найдите площадь трапеции.

Решение

Пусть окружность с центром O и радиусом r, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD с основаниями AD и BC и прямыми углами при вершинах A и B, касается оснований AD и BC в точках K и L соответственно, а большей боковой стороны CD – в точке M. При этом CM = 1, DM = 4.

Поскольку CO и DO – биссектрисы углов BCD и ADC, сумма которых равна 180°, угол COD – прямой, поэтому OM – высота прямоугольного треугольника COD, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,

Тогда

а т.к. точки K, O и L лежат на прямой, перпендикулярной основаниям трапеции, то KL – высота трапеции, KL = 2r = 4. Следовательно,

Ответ

18.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2942