Задача 116372

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Площадь (прочее) ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Голенищева-Кутузова Т.И.

Прямоугольник площади 14 делит сторону квадрата в отношении 1 к 3 (см. рис). Найдите площадь квадрата.

Решение

  Два серых треугольника подобны (по трём углам). При этом гипотенуза меньшего из них равна x, а гипотенуза большего есть    – то есть их стороны относятся как  1 : 5.  Значит, катеты меньшего треугольника равны ^3x/₅ и ^4x/₅.
  Поэтому площадь прямоугольника равна  (5 + ⅗)x·^4x/₅ = ¹¹²/₂₅ x².  Значит,  x² = ²⁵/₈,  а искомая площадь есть  (4x)² = 16·²⁵/₈ = 50.

Ответ

50.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2011
задача
Номер	6