Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными шестерёнками были не меньше 150°? При этом:
  для простоты шестёренки считаются кругами;
  шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
  угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами их окружностей, проведёнными в точку касания;
  первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.

   Решение

В вершинах 33-угольника записали в некотором порядке целые числа от 1 до 33. Затем на каждой стороне написали сумму чисел в её концах.
Могут ли на сторонах оказаться 33 последовательных целых числа (в каком-нибудь порядке)?

   Решение

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В вершинах 33-угольника записали в некотором порядке целые числа от 1 до 33. Затем на каждой стороне написали сумму чисел в её концах.
Могут ли на сторонах оказаться 33 последовательных целых числа (в каком-нибудь порядке)?

Решение

Пусть в вершинах числа идут в таком порядке:  1, 18, 2, 19, 3, 20, ..., 16, 33, 17.  Нетрудно убедиться, что суммы двух соседних чисел будут возрастать по порядку от 19 до 50. А сумма первого и последнего равна 18.

Ответ

Могут.

Замечания

1. См. также задачу М2248 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2012, №1).
2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования