ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116412
Тема:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Про функцию f(x) известно следующее: любая прямая на координатной плоскости имеет с графиком  y = f(x)  столько же общих точек, сколько с параболой  y = x².  Докажите, что  f(x) ≡ x².


Решение

Проведём касательную l к параболе в произвольной точке  A(a, a²).  Эта касательная имеет с графиком Г функции f(x) ровно одну общую точку. Точки под этой касательной не могут принадлежать Г, поскольку каждая из них лежит на параллельной l прямой, не имеющей общих точек с Г. Точки прямой l, отличные от A, также не могут принадлежать Г: каждая из них находится под какой-то другой касательной к параболе. Следовательно, точка A (а значит, и любая точка параболы) принадлежит Г.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .