Задача 116415
|
|
 |
Условие
На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу на 45° вокруг любого из её концов.
Можно ли, сделав несколько таких поворотов, добиться того, чтобы игла вернулась на исходное место, но при этом её концы поменялись местами?
Решение
Пусть вначале конец A иглы находится в точке (0, 0), а конец B – в точке (1, 0). Назовём весом пары чисел
(a, b, c, d рациональны) число a + 2b + c. Заметим, что при любом возможном положении иглы вес пары координат вектора AB равен ±1. Теперь по индукции легко доказать, что вес пары координат точки A всегда чётен, а вес пары координат точки B нечётен. Поэтому поменяться местами эти точки не могут.
Ответ
Нельзя.
Замечания
1. См. также задачу М2188 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2010, №4).
2. 6 баллов.
