Задача 116427

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Клячко А. А., Френкель Е. В.

  а) Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?
  А если богатырей
  б) десять?
  в) тридцать три?

Решение

Если богатыри стартуют из одной точки, и для каждой пары их скоростей u и v числа  ^u/_u–v  и  ^v/_u–v  – целые, то все обгоны происходят в точке старта. Для трёх богатырей подойдут скорости 2, 3 и 4. Для большего числа богатырей скорости строятся по индукции: по набору u, v, ..., w строится набор P – u,  P – v,  ...,  P – w,  P,  где  P = uv...w.

Ответ

Могут.

Замечания

1. См. также задачу М2189 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2010, №4).
2. На Турнире городов в младших классах давались пп. а) и б) (3 + 5 баллов),
в старших – только п. в) (7 баллов). На Московской олимпиаде предлагался только п. в).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	73
Год	2010
класс
Класс	8
задача
Номер	2010.8.4
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2009/2010
Номер	31
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	5
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2009/2010
Номер	31
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	5