Задача 116443

Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Неравенства с медианами ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

В тетраэдре ABCD плоские углы BAD и BCD – тупые. Сравните длины ребер AC и BD.

Решение

  Первый способ. Построим сферу с диаметром BD. Так как углы BAD и BCD – тупые, вершины А и С будут лежать внутри этой сферы. Следовательно, расстояние от А до С меньше диаметра.

  Второй способ. В треугольниках ABD и CBD проведём медианы АМ и СМ соответственно (см. рис.).

  В тупоугольном треугольнике медиана, проведённая к большей стороне, меньше чем половина этой стороны.
  Следовательно,   АС < AM + CM < BD.

Ответ

АС < BD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
Класс
	1
Класс	11
задача
Номер	11.5.2