|
|
 |
Условие
Назовём натуральное семизначное число удачным, если оно делится на произведение всех своих цифр. Существуют ли четыре последовательных удачных числа?
Решение
Предположим, что n, n + 1, n + 2 и n + 3 – удачные числа. В записи этих чисел не может быть цифры 0 (на 0 делить нельзя), поэтому, эти числа отличаются только последней цифрой, следовательно, одно из них оканчивается либо на 4, либо на 8. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Пусть P – произведение первых шести цифр числа n. Так как соседние числа n и n + 1 взаимно просты и оба делятся на P, то P = 1. Следовательно, каждая из первых шести цифр числа n равна 1. Но число 1111114 не делится на 4, а число 1111118 не делится на 8. Противоречие.
Второй способ. Среди этих четырёх чисел есть нечётные. Поскольку они делятся на произведение своих цифр, то все их цифры нечётны. Следовательно, первые шесть цифр каждого из четырёх чисел – нечётные. Но числа, оканчивающееся на А4 или А8, где А – нечётная цифра, не делятся на 4. Противоречие.
Ответ
Не существуют.
Замечания
Аналогичные рассуждения показывают, что никакие четыре последовательных натуральных числа (кроме однозначных) не могут оказаться удачными.
