Задача 116480

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. На продолжении стороны AB за точку B отмечена такая точка M, что  MC = MD.
Докажите, что  ∠AMO = ∠MAD.

Решение

Первый способ. Через точку O проведём прямую, параллельную AD (рис. слева). Она пересечёт стороны AB и CD в их серединах P и Q соответственно. MQ – серединный перпендикуляр к отрезку CD, значит, угол QMP тоже прямой. Итак, MO – медиана прямоугольного треугольника PMQ, проведённая к гипотенузе, поэтому  ∠AMO = ∠PMO = ∠MPO = ∠MAD.

           

Второй способ. Продолжим отрезок MO за точку O на его длину и получим точку K (рис. справа). BMDK – параллелограмм, следовательно,  DK || AB,  поэтому точка K лежит на прямой CD.  MC = MD = BK,  значит, BMCK – равнобокая трапеция. Следовательно,  ∠AMO = ∠BMK = ∠MBC = ∠MAD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2011
класс
Класс	8
Задача
Номер	8.6