Задача 116483

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

В трапеции ABCD основание AD в четыре раза больше чем BC. Прямая, проходящая через середину диагонали BD и параллельная AB, пересекает сторону CD в точке K. Найдите отношение DK : KC.

Решение

  Пусть P – середина BD, L и N – точки пересечения прямой KP с прямыми BC и AD соответственно (см. рис.).

  PN – средняя линия треугольника ABD. ABLN – параллелограмм, значит,  ND = AN = BL.  Кроме того,  AD = 4BC,  поэтому  BC = CL  и   ND = 2CL.  Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Треугольники NKD и LKC подобны, следовательно,  DK : KC = ND : CL = 2 : 1.

  Второй способ. В треугольнике DBL отрезки LP и DC являются медианами, поэтому каждый из них делится точкой K в отношении  2 : 1,  считая от вершины.

Ответ

DK : KC = 2 : 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2011
Класс
Класс	9
Задача
Номер	9.3