ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116500
Темы:    [ Средняя линия треугольника ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Иванов С.

Дан треугольник ABC. Точки A1, B1 и C1 – середины сторон BC, AC и AB соответственно. На продолжении отрезка C1B1 отложен отрезок B1K по длине равный . Известно, AA1 = BC. Докажите, что AB = BK.


Решение

Пусть медиана AA1 треугольника ABC пересекается со средней линией B1C1 в точке O. Тогда AB1A1C1 – параллелограмм, поэтому O – середина B1C1 и AA1.

Положим AA1 = BC = 4a. Тогда

Четырёхугольник BOKA1 – также параллелограмм, поэтому M – середина BK. Точка O лежит на медиане KC1 треугольника AKB и делит эту медиану в отношении , значит, O – точка пересечения медиан этого треугольника. Поэтому медиана AM треугольника ABC проходит через точку O и

В треугольнике AKB медианы KC1 и AM равны, следовательно, этот треугольник – равнобедренный, AB = BK.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6314

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .