Задача 116500

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Иванов С.

Дан треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, AC и AB соответственно. На продолжении отрезка C₁B₁ отложен отрезок B₁K по длине равный . Известно, AA₁ = BC. Докажите, что AB = BK.

Решение

Пусть медиана AA₁ треугольника ABC пересекается со средней линией B₁C₁ в точке O. Тогда AB₁A₁C₁ – параллелограмм, поэтому O – середина B₁C₁ и AA₁.

Положим AA₁ = BC = 4a. Тогда

Четырёхугольник BOKA₁ – также параллелограмм, поэтому M – середина BK. Точка O лежит на медиане KC₁ треугольника AKB и делит эту медиану в отношении , значит, O – точка пересечения медиан этого треугольника. Поэтому медиана AM треугольника ABC проходит через точку O и

В треугольнике AKB медианы KC₁ и AM равны, следовательно, этот треугольник – равнобедренный, AB = BK.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6314